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张量网络和神经网络在物理学中的应用和融合
  • 2021-03-01 14:21

|作者:张静谢志远(中国人民大学物理系)

本文选自《物理学》,2021年第2期

基于张量网络的数值重整化群方法已广泛应用于物理研究,并已成为量子多体计算方法家族的重要成员。近年来,基于神经网络的机器学习方法逐渐渗透到物理领域,并已成功应用于量子多体等问题的研究。本文简要回顾了近年来张量网络和神经网络在凝聚态物理和统计物理中的应用,并讨论了它们的交叉和结合。

张量网络;神经网络;数值重整化群;混合

1个报价

张量重整化群是近年来发展起来的一种有效的量子多体计算方法,已成功应用于凝聚态物理和统计物理的许多领域。基于经典配分函数和量子波函数的张量网络表示,将物理可观测性的求解转化为一个张量网络的求和,最终的求和主要通过重整化群的思想进行处理。以正方形格子为例,如图1(a)所示,对于任何只有最近邻相互作用的经典统计模型,其配分函数都可以严格写成张量网络求和形式[2],即,

在…之中

代表定义在格点i上的张量,由温度和哈密顿量所决定,下标a,b,c,d分别代表局域张量的4个指标,Tr代表对所有的指标进行求和。因此,通过对(1)式右侧求和,就能给出自由能和所有力学统计量。相应的,如图1(b)所示,对于一大类低纠缠量子态[3],给定基矢量的叠加系数也可以表示为一个张量网络求和的形式,即

在…之中

仍代表定义在格点i上的张量,下标被称为虚拟指标。相对于(1)式,这里的T还有一个表征物理构型的指标 σi,对于1/2自旋系统,σi就代表和两种构型。Tr代表同时对所有的虚拟指标和物理构型进行求和。张量网络的两个典型应用场景,就是利用(1)式来求解配分函数,利用(2)式来近似表示给定量子格点模型的基态和低能激发态波函数。

图1 (a)配分函数的张量网络表示;(b)量子波函数的张量网络表示。在两个图中,黑点代表局部张量,黑线代表需要求和的虚拟索引。求和后,(a)图表示标量,即配分函数,(b)图表示向量,即状态向量

本文涉及的神经网络是指人工神经网络,是目前深度学习的主要实现方式和组成部分,在很多情况下已经成为深度学习的代名词[4]。虽然神经网络的早期发展受到神经科学的启发,其目的大多是模拟生物计算,但现代神经网络基本上已经脱离了生物学,更多的是以数学和工程为指导。它的成功应用突破了生物学和计算机学科,在数学、物理、化学、材料科学、医学等领域受到广泛关注。

本文首先简要概述了张量网络和神经网络在物理学中的应用,讨论的范围主要限于统计物理和凝聚态多体物理领域,然后讨论了它们的相似性、发生和可能的结合。

2张量网络的应用

2.1张量网络在统计物理中的应用

(1)公式为多重求和问题,其中求和量为局部自由度,一般不能严格求解,但利用重正化群的思想,发展粗粒化或转移矩阵的方法,可以有效逼近。比如高阶张量重整化群[5,6]中,自由能F和局部物理量统计量O(比如能量密度、磁化强度密度等。)可以简洁地表示为

这里,I表示粗粒化步骤数,λi表示第一次粗粒化步骤中从局部张量提取的归一化系数,T表示粗粒化完成后形成的局部张量,S表示此时包含统计信息o的杂质点张量。原始尺度上的t和S可以根据模型直接写出,统计量的计算相当于用重整化群流研究它们的演化过程。

张量网络由于可以直接处理热力学极限,提供了一种没有尺度效应的研究方法,因此在经典统计模型中得到了成功的应用。它不仅可以用于二维统计模型,如Ising模型中的铁磁相变[7],反铁磁Potts模型中的熵诱导相变和偏序[8],Clock模型中的KT相变[9]等。,还可以扩展到三维和四维统计模型的相变研究[5,10],成为高维点阵统计模型的研究除了离散自由度外,张量网络还可以通过一些可控的近似,如贝塞尔展开,有效地研究连续自由度模型,如经典XY模型中的KT相变。张量网络除了计算局部统计量外,还可以通过其他方式分析临界行为,如重整化群流中局部张量的不动点分析[12],高阶矩与Binder的比值[13],复域中的Fisher零点和Yang—Lee零点分析等。[14].

在通常的经典统计模型中,公式(1)中的张量t具有平移不变性,即存在一个有限单元,其中t依赖于格点,整个系统由单元的周期平移得到,因此张量网络可以直接处理热力学极限。但是对于没有平移不变性的系统,就需要牺牲平移不变性,处理有限格系统。张量网络在这方面也有成功的应用,如爱德华-安德森模型和比罗利-梅扎德模型。

张量网络的求和是张量重整化群的核心内容之一。不仅经典模型需要求和网络,量子晶格模型的物理量和波函数的精确解也需要求和网络。物理学家发展了许多基于重整化群的网络求和方法。感兴趣的读者可以参考参考文献[1,3,16],这里不再赘述。

2.2张量网络在量子晶格模型中的应用

由公式(2)表示的量子态称为投影纠缠对态(PEPS)[17],它满足纠缠熵的面积律[18],是最先广泛使用的一种张量网络态。不同张量网络表达量子态的能力取决于其描述纠缠熵的能力。一般来说,矩阵积态和树张量网络态满足一维面积律,PEPS及其投影纠缠单态推广[19],二维多尺度纠缠重整化an satz (MERA)[20],满足二维面积律。还有一些特殊的张量网络态,可以描述超出对应维数的面积规则的纠缠熵行为,如一维MERA,二维具有分支结构的mera用张量网络态研究量子模型,需要选择一个具有适当表达能力的波函数假设,如具有局域相互作用和有限基态简并性的二维量子自旋模型。对于有能隙的系统,人们期望其基态满足面积律,因此可以选择满足二维面积律的波函数假设。对于一个无间隙系统,其基态会超过面积律,满足或超过二维面积律的假设可以根据计算资源选择。除了少数系统明确外,关于纠缠熵的一般性讨论目前还是一个开放的话题,具体可参考参考文献[18]。,长程关联的关联积态张量网络态最重要的应用场景之一是近似给定不动点模型的基态波函数。一般只要相互作用定域在实空间,张量网络态总是可以用来近似一个有能隙系统的基态。通过虚拟时间演化和能量优化,它最初应用于无阻尼自旋系统[23,24],然后扩展到强受抑自旋系统[19,25,26]。这方面有很多有价值的作品,这里就不一一说明了。值得一提的是,还有一个不同但相关的研究方向,即不是从具体的哈密顿量出发,而是用张量网络态来构造物理上感兴趣的量子态,如对称保护态和拓扑相,从而研究这些态和相应哈密顿系统的新颖性质。这个方向有很多有趣的作品[27,28]。如果假设系统的低能激发态也满足面积法则,也可以在得到基态波函数后,利用基态的局部扰动构造基态的正交空间,在正交空间中求解能量最小的量子态,从而得到系统的低能单粒子激发态受限玻尔兹曼机(RBM)[4]是物理学家研究和应用最多的神经网络之一。如图3所示,它是一个只有两层神经元的特殊浅层神经网络,其中一层是输入变量ν,另一层是需要求和的隐藏变量h,其输出是一个巧妙设计的函数,如下:。等等。

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在张量网络的框架下,我们可以直观地理解D维量子模型与d+1维经典模型的等价性,配分函数可以表示为D维转移矩阵的幂追踪。因此,如果在有限温度下切断虚拟时间演化方法,可以通过总结一个有限单向的张量网络来研究量子系统的热力学性质其中a和b表示偏移参数,w为权重参数,需要通过算法学习。P(ν)可以看作是形式归一化后的概率函数。通过训练,模型可以找到一组最优参数,使生成的概率函数P(ν)尽可能接近真实或期望的概率分布。由于与统计物理理论有着深刻的相似性,RBM很快被物理学家所理解,并被用于描述平衡态的统计模型、量子多体系统的基态波函数、混合量子态的密度矩阵描述、拓扑量子态等研究。事实上,已经发现在大多数情况下,RBM态和张量网络态可以相互转化[10]秋山S,仓麻石Y,山下T等.物理学报,2019,100:054510,并且有一个很强的联系[11]俞建福,谢振英,缪瑞诗等.物理学报,2014,89:013308与关联积态的波函数,这与文献[12]墨瑞斯Y. Phys. Rev. B,2013,87:064422;顾振中,文X . g .物理,2009,80:155131中长程关联的RBM可以描述体积比的纠缠熵,以及文献[13]森田,川岛.计算机物理通信,2019,236:65中RBM可以检测贝尔非局域性的结论是一致的。不仅如此,由于其相对较低的复杂度和相对成熟的计算手段,矩阵乘积态和树张量网络态已经成功应用于其他困难的应用场景,如多体定位深度神经网络通常具有较强的表达能力和泛化能力,在计算机领域得到了广泛的应用。前馈神经网络[4],也称为多层感知器,是一种典型的深度学习模型,它接收一个输入X,给出一个输出Y,所以在数学上,网络实际上表达了一个从X到Y的映射F,在实际应用中,比如分类任务,X是一个表示为向量的图片,Y是一个表示一个范畴的数或向量,映射F通常表示为一些简单函数的复合,比如、parton表示这里l和n分别代表线性和非线性映射。线性映射L可以表示为L(x) = Wx+b,通常x和L(x)的每个元素称为一个神经元,w表示两层神经元之间的互联,称为权重矩阵,b是调整数据的偏移向量。非线性映射n通常由一些已知的统计函数或具有近似阈值属性的函数组成。w和B是需要通过机器学习算法确定的参数。前者几乎占据了神经网络的所有参数,而非线性层的优化参数很少或没有。这种网络结构属于有向无环图,所以称为前馈网络。如果在中间层和输出层之间加入连接,即输出对网络有反馈,则可以扩展为循环神经网络和递归神经网络,这两种网络多用于序列建模。和开放系统动力学给定一个网络结构,学习算法的目的是找到一组参数{Wi,bi},使定义在所有输入数据集上的损失函数最小,或者等价地,使这些参数组成的复合函数f最接近真实映射。一方面,基于其强大的拟合能力,深度神经网络,如卷积神经网络,可以用于拟合物理数据,并通过数据外推或先验误差评估来检测热力学相变和拓扑量子相变[14]邓伯雷克A,刘Y Z,墨瑞斯Y等.物理Rev. D,2014,89:016008;《科学》2015,92:125132。在大多数情况下,这里的相变检测实际上是为了确认一些已知的相变。为了真正预测未知的相变,神经网络也被用于无监督学习,例如变分自编码器[15]王c,秦素梅,周海杰.物理学报,2014,90:174201;Yoshiyama K,Hukushima K. J. Phys. Soc .Jpn。,2020,89:104003,其也可以用于热力学相变的检测。另一方面,卷积神经网络、变分自回归网络等深度神经网络作为表达能力更强的网络,在量子波函数表示方面更具优势,可以更自然地参与复杂的多体计算。事实上,它们已经成功地用于求解统计模型的配分函数[16]冉S J,蒂里托E,彭C等.张量网络收缩.斯普林格公开赛,2020和量子基态波函数[17]维斯特莱特·弗,《国际刑事法庭学报》,2004年,第14卷:0407066页,包括受抑自旋系统[18]艾泽特·J,克莱姆·M,普莱尼奥·M·B . rev . Mod。Phys,2010,82:277和相互作用费米子系统[19]谢振英,陈军,于建福等.物理学报,2014,4:011025,引起了人们的密切关注。。

对于自旋系统,公式(2)中通常没有对局部张量的约束。对于玻色子系统关于物理学的更多应用,读者可以参考摘要[20]维达尔·列特。,2008,101:110501。然而,需要注意的是,实际上,许多其他独立于神经网络的传统机器学习方法也可以用于检测相变,如支持向量机、扩散图、主成分分析等。,并且也被成功地用于研究物理模型的相变[21]列特牧师。,2014,112:240502,随机森林也被用于预测具有高转变温度的高温超导材料[22]常兰妮,金德,尤姆里加,等.物理学报,2009,80:245116,这也是一个值得关注的方向。,正则系综通常对网络施加全局约束或群约束,如粒子数守恒或硬核约束。这些约束通常可以归结为局部张量的某种对称性,比如U(1)对称性,相当于要求自旋系统在某个自旋分量的子空间中。对于费米子系统,为了描述粒子的反交换关系,需要在局部张量中引入一个与下标相对应的合适的格拉斯曼数,使得交换求和阶时格拉斯曼代数自动计数张量网络和神经网络的结合。一个简单等价的方法是利用Z2对称的局部张量,在所有连线相交的地方引入一个特定的交叉规则,即当两条相交线同时具有奇宇称时,会产生一个负号神经网络可以应用于物理研究,张量网络作为一种紧凑的网络形式,自然可以表示从输入到输出的映射,这在机器学习领域有所不同。例如,张量网络已经成功地应用于分类任务[69,70],生成模型[25]王力,顾振中,维斯特莱特等.物理学报,2016,94:075143;刘文英,董s,王春等.物理学报,2018,98:241109,新的神经网络范式和网络压缩[26]科尔博兹·普,米拉·弗·物理学报,2013,87:115144,以及改进的深度神经网络的优化[27]陈X,顾Z C,文X G. Phys. Rev. B,2011,83:035107;舒奇,加西亚·德普,中国物理学报,2011,84:165139。。此外,借助于对称张量,张量网络态也可以有效地推广到任意子系统对于量子多体计算来说,交叉固然重要,但也许更重要的是能否从神经网络中得到一些启发,从而改进现有的计算方法,甚至开发出更高效的新计算方法。一个很好的例子是自学习蒙特卡罗[28] Schuch N,Cirac J . I,佩雷斯·加西亚d .安。Phys,2010,325:2153;徐文泰,张清,张光明,列特。,2020,124:130603,它利用局部更新法生成的组态拟合出一个近似哈密顿量,该哈密顿量可以分组更新,进而可以用来加快有效采样。想法很简单,但是可以大大削弱临界减速的强度。因此,有必要研究张量网络和神经网络的异同。虽然它们之间有区别,比如张量网络更注重纠缠熵和可以用表象描述的关联行为,而神经网络更注重扩展数据集的能力,但是它们之间的关联在很多著作中都有所注意[75,76]。因为求和张量网络的主要方式来源于重整化群思想,而神经网络是实现深度学习的主要方式,它们之间的关系也反映了深度学习和重整化群之间的关系,有工作尝试从不同角度通过深度学习来构造有效的重整化群变换[77,78]。这里只从网络结构和优化方面讨论两者的相似之处。。

张量网络的一个重要参数是下标的最大值,即保留态D的个数,它控制着变分参数的个数和波函数表示的精度。一般来说,如果优化算法足够好,d越大,波函数表示越精确。因此,在实际计算中,一个重要的问题是如何在有限的计算资源下尽可能地增加保留状态d的有效数量。主要有三种解决方案。一种是将较大D的波函数近似为较小D的波函数的线性叠加,可以推广到Krylov子空间方法的张量网络态实现,进而实现低能本征态为简单起见,本文以二分一维树张量网络状态为例。如图4(a)所示,假设我们已经将哈密顿量或某个转移矩阵表示为矩阵乘积算子。形式上,此时的一步重正化群变换可以看作是对每两个相邻的指标(代表物理自由度)施加一个变换,提取相关自由度,扔掉无关自由度。这里的关联可以简单理解为那些使整个系统能量最低的基向量,在每一个尺度上类似地进行重整化群变换,最终得到原哈密顿量H的有效低维表示H’。等效地,图4(a)中所示的树结构仅仅给出了原始哈密顿量的最低能级的本征态的张量网络表示。从最优化的角度来看,这里数值计算的目的是寻找一个合适的重整化群变换,使得到的有效h′尽可能接近原始h的最低能级。和动态关联函数[39,40]的有效求解。因为这些工作需要计算两个状态的内积,所以现有的工作是处理有限系统。另一种是嵌套张量网络方法可以看出,张量网络和神经网络有一些相似之处。从输入和处理对象来看,哈密顿量、传递矩阵和波函数可以对应神经网络的图像集和序列集;从计算过程来看,尺度变换对应的是特征的提取和提取,前者的扫描或优化在后者称为训练或学习;从外观上看,有效的张量网络表示对应的是特征图或神经层;从优化目标来看,能量特征值,配分函数(自由能),对应于损失函数(如交叉熵)。,即通过改变张量网络的求和顺序,将期望值的求解转化为嵌套结构的单层张量网络的求和,从而用D降低计算复杂度的规模,可以直接处理热力学极限[42,43]。另一种解决方法是将蒙特卡罗抽样与张量网络表示相结合,用抽样求和来近似物理构型或虚拟自由度的直接求和[44,45],便于有限系统的并行计算。这些方法可以有效地增加保留态的数量,特别是对于能隙较小的系统,这可能非常重要。

2.3张量网络在其他相关领域的应用

张量网络也已成功应用于其他领域。在格点规范场论中,配分函数也可以以张量网络求和的形式简洁地写出,因此张量重整化群可以方便地用于数值研究[46,47]。例如,在三维U(1)规范场模型中,对应的张量网络具有双点阵结构,如图2所示,在所有正方形的中心定义一个四阶张量B(红色),在所有键的中心定义一个四阶张量A(蓝色),每个张量与它周围的四个张量相连。这种形式与经典统计模型非常相似。在最近的一些工作中,张量网络的定义空间也被物理学家成功地从晶格系统推广到连续极限,用于量子场论的研究[2]赵海红,谢振英,陈清n等.物理学报,2010,81:174411,这对非微扰量子场论方法的发展具有重要意义。如果将定义的格推广到任意连通图,张量网络算法也可以有效地应用于复杂网络[3]奥尔斯·r .《物理学年鉴》,2014,349:117和随机量子电路[4]古德费勒,本吉奥,库维尔·阿。深度学习。麻省理工学院出版社,2016的研究。除了物理,张量网络还有一些理论上的应用。例如,在最近的工作中,通过将传统的金融理论模型转化为哈密顿系统,张量网络被用于投资组合优化的研究。随着各个研究方向之间交流的加强,相信这种应用会越来越多。

图2 三维U(1)规范场模型配分函数的张量网络表示[1]乐洪灏,谢志远。物理,2017,46(7):424;刘云京,陈彬彬,李伟。物理,2017,46(7):430;娄婕。物理,2017,46 (7): 439。其中红色的B张量描述每一个正方形上的配分函数贡献,蓝色的A张量描述约束。黑色点与虚线代表原始晶格,× 代表求和

神经网络在物理学中的应用

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图3 受限玻尔兹曼机的示意性表示[56]。隐变量h通常取离散的值,被求和掉之后,结果是关于变量ν的一个函数值, 如(4)式所表达

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图4 (a)一维二叉树张量网络的结构和重整化群的示意流程。这里红点所在的四阶张量构成哈密顿量(或转移矩阵)H的矩阵乘积算子表示,绿点所在的三阶张量表示各尺度下的局部重整化群变换,通常是酉变换;(b)前馈神经网络[的示意图[4]。这里作为分类器使用,即在底层神经层输入一幅图像,经过特征提取和抽象,最终在顶层神经层输出一个类别。每一层神经元都可以被视为输入图像的不同层次的表示

深度学习是一种表征学习,即如果把每一层神经元看作输入数据的不同层次的表征,不仅要学习公式(5)表示的映射,还要学习表征本身。深度神经网络不同层之间的映射可以看作是从简单的低级表示中抽象出复杂的高级表示。这些特征的提取和抽象形成了类似重整化群中尺度的层次结构。如图4(b)所示,图像(即一些像素分布)被输入到前馈网络中,并且在第一层网络的映射和抽象之后,在第一隐藏层获得图像的最低级别表示,例如边缘特征;在此基础上,经过第二层的映射和抽象,第二隐藏层可以得到子级表示,如角点和轮廓特征。以此类推,经过更深层次的网络映射,就可以得到更高层次的抽象,比如一个物理部分,最后在输出层得到最高层次的抽象表示,比如输入图像的标签(在这种情况下是一个人)。对于分类器来说,优化的目的是找到合适的网络映射,使输出标签尽可能接近真实情况。

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更详细的研究表明,这两种优化方法有许多相似之处。在神经网络参数优化策略中,基于反向传播算法的梯度优化方法占主导地位。对于给定的批量输入,是网络参数的全局优化。在最近的工作[33] Schroder F,Turban D,Musser A J et al. Nat .通信。, 2019,10:1062中,我们证明了这种优化方法等价于张量网络的一种高效全局优化方法,即二次重整化群[24]:神经网络中的梯度对应于张量网络中的环境概念,求解梯度的反向传播算法对应于求解环境的反向迭代步骤。这种等价性已经得到了数值验证,促使我们将神经网络的优化技术如自动微分等嵌入到张量网络的优化中,以实现和改进原有的重整化群算法。考虑到这些相似性以及导数在波函数优化[45,80]中的成功应用,可以预期,神经网络中广泛应用的自动微分在未来张量网络的计算中将发挥重要作用,而张量网络发展的一些概念和方法,如正则化表示[3],也可能在神经网络的优化中发挥重要作用。

5总结与展望

张量网络和神经网络是两个相对年轻但发展迅速的领域,它们的交叉也是一个非常活跃的研究领域。受空间和个人视野的限制,本文提到的研究课题即使局限于统计物理和凝聚态物理领域,也只能涵盖其中的一部分。但有两点是可以预料的:(1)两个领域的交叉会催生更多与其他领域的交叉[35]顾Z C,F,文X G. 2010,arXiv:1004.2563;顾中体育,2013,88:115139,产生更多新的思路和方法;(2)这些理论方法将逐渐渗透到实验领域[82,83],吸引越来越多的实验物理学家的关注和参与。对于感兴趣的读者,我强烈推荐阅读本文中的参考文献,尽可能安排在最合适的地方。作者的主要研究方向之一是量子多体计算方法,它与这个交叉领域密切相关。希望这个概述能够吸引更多的新生力量加入,壮大国内多体计算的研究团队。

感谢物理研究所向涛课题组成员以及赵惠海、刘昱志、王乐妍、张盼、李伟、王瑞、邹海元等合作者的讨论。

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